f(x)
xⁿ
∫
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Mathematik · 10. Klasse

Ganzrationale
Funktionen

Interaktive Lernzusammenfassung mit Live-Graphen, Schritt-für-Schritt-Erklärungen und Prüfungs-Quiz.

Periodische Vorgänge modellieren

Viele Phänomene in der Natur wiederholen sich regelmäßig — Pendel, Jahreszeiten, Wellen, Tagesrhythmen. Mit der allgemeinen Sinusfunktion können wir sie mathematisch beschreiben.

Die allgemeine Sinusfunktion

f(t) = a · sin(b · (t + c)) + d
a
Amplitude
Maximale Auslenkung von der Mittellinie. |a| = (Max − Min) / 2
b
Streckung/Stauchung
Bestimmt die Periode: p = 2π / |b|
c
Phasenverschiebung
Horizontale Verschiebung. c > 0 → nach links, c < 0 → nach rechts
d
Mittellinie
Vertikale Verschiebung. d = (Max + Min) / 2

Interaktiver Graph — Parameter verändern

f(t) = 3.0 · sin(1.0 · (t + 0.0)) + 0.0Periode ≈ 6.28

📐 Modellierungsschritte

  1. 1
    Maximum & Minimum ablesen aus dem Sachkontext
  2. 2
    Amplitude berechnen: a = (Max − Min) / 2
  3. 3
    Mittellinie berechnen: d = (Max + Min) / 2
  4. 4
    Periode ablesen und b berechnen: b = 2π / p
  5. 5
    Phasenverschiebung c bestimmen: Wo liegt das Maximum/der Nulldurchgang relativ zum Standard-Sinus?
  6. 6
    Formel aufstellen und mit gegebenen Werten überprüfen

Anwendungsbeispiele

Ein Riesenrad dreht sich einmal in 40 s. Die Gondel schwankt zwischen 2 m und 22 m Höhe.

→Maximum = 22 m, Minimum = 2 m
→Amplitude a = (22 − 2) / 2 = 10
→Mittellinie d = (22 + 2) / 2 = 12
→Periode p = 40 s → b = 2π / 40 = π/20
→Start unten → Phasenverschiebung c = −p/4 = −10
→h(t) = 10 · sin(π/20 · (t − 10)) + 12

⚡ Merkhilfe

Periode ↔ b: p = 2π/b, also b = 2π/p
Amplitude ↔ a: a = (Max − Min) / 2
Mittellinie ↔ d: d = (Max + Min) / 2
cos(x) = sin(x + π/2) — Cosinus ist ein verschobener Sinus